RMS vs. Peak – Teil II: Warum beide beim Kurzschlussstrom wichtig sind

Bitte beachten Sie: Dieser Artikel ist akademisch orientiert und richtet sich an Leser, die eine tiefergehende technische Erklärung suchen.
Niveau: Fortgeschritten

Im ersten Artikel haben wir den grundlegenden Unterschied zwischen RMS und Peak erklärt. In diesem zweiten Artikel gehen wir eine Ebene tiefer und konzentrieren uns auf RMS vs. Peak beim Kurzschlussstrom, denn hier wird die Unterscheidung in der Energietechnik wirklich wichtig.

Der Kerngedanke ist einfach: Ein Fehlerstrom beschädigt Geräte nicht nur auf eine Weise. Er erzeugt thermische Beanspruchung über die Zeit und mechanische Beanspruchung im ungünstigsten Moment. Daher benötigen Ingenieure mehr als eine Stromgröße, um das Ereignis richtig zu beschreiben. Wir können den Fehlerstrom auf diese duale Weise beschreiben: einen frühen Spitzenwert im asymmetrischen Zustand und einen RMS-Strom, der die spätere effektive Belastung bestimmt.

Warum haben wir überhaupt sowohl RMS als auch Peak?

Der Hauptgrund ist, dass ein Kurzschlussstrom zwei verschiedene zerstörerische Wirkungen hat.

Die eine ist die Erwärmung. Leiter, Kontakte und Sammelschienen erfahren eine Joulesche Erwärmung, die quadratisch vom Strom über die Zeit abhängt. Die andere ist die mechanische Kraft. Während der ersten Fehlerschleife erzeugt ein sehr hoher Strom eine sehr starke elektrodynamische Beanspruchung von Leitern und Stützen. Das Material von ABB zur IEC 61439 behandelt die Kurzschlussfestigkeit im Hinblick auf die mechanische, elektrische und thermische Festigkeit des Sammelschienensystems, während CMP anmerkt, dass der Spitzenfehler zuerst auftritt und der maximale Momentanwert des Kurzschlussstroms ist.

Deshalb sind diese beiden Fragen unterschiedlich:

• RMS fragt: Wie schwerwiegend ist der Fehler im Sinne der effektiven Erwärmung?
• Peak fragt: Was ist die maximale momentane Wucht, die durch die Wellenform geliefert wird?

Diese Unterscheidung ist der eigentliche Grund, warum beide Werte existieren.

Was genau ist RMS?

RMS steht für root mean square (quadratischer Mittelwert). In der praktischen Elektrotechnik ist der RMS-Wert der Wert eines veränderlichen Stroms oder einer Spannung, der die gleiche Heizwirkung erzeugt wie ein äquivalenter Gleichstromwert.

Für einen zeitlich veränderlichen Strom i(t) ist der RMS-Wert:

I_{\mathrm{RMS}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}  i^{2}(t)\,dt}​

Warum RMS nicht einfach der Durchschnitt ist

RMS ist nicht dasselbe wie der gewöhnliche Durchschnittswert.

Eine reine AC-Sinuswelle hat positive und negative Hälften, sodass ihr gewöhnlicher Durchschnitt über einen vollen Zyklus Null ist. Aber der Leiter erwärmt sich trotzdem, was bedeutet, dass eine einfache Mittelwertbildung den realen elektrischen Effekt nicht darstellen kann.

Warum dann nicht den Gleichrichtwert verwenden?

Der Grund, warum RMS Quadrierung, Mittelwertbildung und dann die Quadratwurzel verwendet, ist eher physikalisch als willkürlich: Die ohmsche Erwärmung folgt

P=I^2R

Daher muss der Strom über sein Quadrat behandelt werden, wenn wir einen Wert wollen, der seine wahre thermische Wirkung widerspiegelt.

Die physikalische Bedeutung der RMS-Formel ist eindeutig: Es ist der heizäquivalente Strom einer veränderlichen Wellenform.

RMS ist also kein „bloßer Durchschnitt“. Es ist ein Wert, der so konstruiert ist, dass er dem physikalischen Effekt entspricht, den der Strom tatsächlich erzeugt.

RMS und Peak für eine reine Sinusschwingung

Für einen sauberen sinusförmigen Strom,

i(t) = I_{\mathrm{peak}}\sin(\omega t)

ist die Beziehung:

I_{\mathrm{RMS}} = \frac{I_{\mathrm{peak}}}{\sqrt{2}}  

oder äquivalent:

I_{\mathrm{peak}} = \sqrt{2}\,I_{\mathrm{RMS}} \approx 1,414\,I_{\mathrm{RMS}}

Die Herleitung:

Ausgehend von der RMS-Definition

I_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}  i^{2}(t)\,dt}

Für einen rein sinusförmigen Strom

i(t)=I_{\mathrm{peak}}\sin(\omega t)

In die RMS-Formel einsetzen

\begin{aligned}
I_{\mathrm{RMS}}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left(I_{\mathrm{peak}}\sin(\omega t)\right)^{2}dt}
\\&=\sqrt{\frac{I_{\mathrm{peak}}^{2}}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}
\\&=I_{\mathrm{peak}}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}
\end{aligned}

Aufgrund von

\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}

\begin{aligned}
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt
&=
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt
\\&=
\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}1\,dt-
\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt
\end{aligned}

\text{Für den 1. Term:}
\[2em]  
\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}1\,dt=\frac{1}{2T}\cdot T=\frac{1}{2}

\text{Für den 2. Term:}
\[2em]
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt
=
\left[\frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\right]_{0}^{T}
=
\frac{\sin(2\omega T)-\sin(0)}{2\omega}

\text{Da eine Periode erfüllt:}
\[2em] T=\frac{2\pi}{\omega}

\ ({\omega}\text{ ist die Winkelfrequenz})
\[2em]
  \to 2\omega T=2\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}=4\pi
\\
\to \sin(2\omega T)=\sin(4\pi)=0
\[2em]
\to\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt=0

\text{Daher ist der Durchschnitt von }sin^{2}(\omega t) \text{ über eine Periode: }
\\
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\frac{1}{2}
\[2em]
\begin{aligned}
\to I_{\mathrm{RMS}}&=I_{\mathrm{peak}}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}
\\
&=I_{\mathrm{peak}}\sqrt{\frac{1}{2}}
\\
&=\frac{I_{\mathrm{peak}}}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\[2em]
\to I_{\mathrm{peak}}=\sqrt{2}\,I_{\mathrm{RMS}}\approx1,414\,I_{\mathrm{RMS}}

Ende der Herleitung

Z. B. verwendet Texas Instruments das bekannte AC-Beispiel, dass 120 V RMS etwa 170 V Peak entsprechen, was genau der gleichen Sinuswellen-Beziehung entspricht.

Wenn also ein sinusförmiger Fehlerstrom 100 A RMS betrüge, läge sein Spitzenwert bei etwa 141,4 A. Dies ist die Beziehung, an die sich viele Ingenieure zuerst erinnern. Sie gilt jedoch nur für eine saubere symmetrische Sinuswelle.

Warum der Kurzschlussstrom komplizierter ist als eine normale Sinuswelle

Ein realer Kurzschlussstrom beginnt normalerweise nicht als saubere symmetrische Sinuswelle.

CMP erklärt, dass ein dreiphasiger Kurzschlussfehler in einen asymmetrischen Zustand und einen späteren symmetrischen Zustand unterteilt werden kann. Schneider unterscheidet ähnlich zwischen symmetrischem und asymmetrischem Kurzschlussstrom und stellt fest, dass der asymmetrische Fall ein Gleichstromglied (DC-Offset) enthält, das der AC-Komponente überlagert ist.

Das bedeutet, dass die tatsächliche Stromwellenform anfangs wie eine nach oben oder unten verschobene Sinuswelle aussehen kann, die nicht sauber um Null zentriert ist. In der Praxis ist dies einer der wichtigsten Gründe, warum Ingenieure nicht bei der einfachen 1,414 × RMS-Regel stehen bleiben können.

Was ist das Gleichstromglied physikalisch?

Das Gleichstromglied (DC-Offset) ist eine transiente Komponente, die auftritt, wenn der Fehler beginnt.

Schneider erklärt, dass der asymmetrische Ausschaltstrom sowohl AC- als auch DC-Komponenten enthält und dass das Gleichstromglied über einige Zyklen abklingt.

Physikalisch geschieht dies, weil der Strom nicht immer an der „idealen“ Stelle der Wellenform beginnt und weil das induktive Verhalten des Systems verhindert, dass der Strom sofort in sein endgültiges symmetrisches sinusförmiges Muster springt. Zu Beginn des Fehlers ist die Wellenform daher asymmetrisch; später klingt die transiente Komponente ab und die Wellenform wird symmetrischer.

Warum der erste Spitzenwert viel größer als 1,414 × RMS sein kann

Dies ist einer der wichtigsten Gedanken in der Kurzschlussanalyse.

Ein realer Kurzschlussstrom beginnt oft nicht als rein symmetrische Sinuswelle. In dem Moment, in dem der Fehler beginnt, kann der Strom nicht nur die AC-Komponente, sondern auch ein abklingendes Gleichstromglied enthalten.

Dieses Gleichstromglied verschiebt die Wellenform während der ersten Zyklen nach oben oder unten. Infolgedessen ist der Spitzenwert der ersten Halbschwingung nicht mehr nur der Scheitelwert einer zentrierten Sinuswelle. Er wird zur Summe aus:

• der sinusförmigen AC-Komponente und
• der temporären DC-Offset-Komponente

Im normalen stationären Wechselstrom gilt also: Peak ≈ 1,414 × RMS.
In einem tatsächlichen Kurzschluss kann der erste Spitzenwert viel höher sein, da die Wellenform anfangs asymmetrisch und nicht perfekt um Null zentriert ist.

Deshalb verdient der erste Fehlerspitzenwert in der Fehlerstromtechnik besondere Aufmerksamkeit.

Was genau ist dann der Spitzenstrom?

Der Spitzenstrom (Peak Current) ist der maximale Momentanwert, den die Stromwellenform erreicht.

Im Gegensatz zum RMS-Strom, der einen effektiven Wert über die Zeit darstellt, bezieht sich der Spitzenstrom auf einen einzelnen Moment – den höchsten Punkt der Wellenform. Unter Kurzschlussbedingungen tritt dieses Maximum oft während der frühen asymmetrischen Phase des Fehlers auf, wenn die AC-Komponente von einem abklingenden Gleichstromglied überlagert wird.

Da es sich um ein momentanes Maximum und nicht um einen zeitbasierten Effektivwert handelt, ist der Spitzenstrom hauptsächlich für die mechanische Beanspruchung und die elektrodynamische Kraft relevant und weniger für die lang andauernde thermische Erwärmung.

Warum der erste Spitzenwert mechanisch so wichtig ist

Wenn der Fehlerstrom scharf ansteigt, erzeugt er ein starkes Magnetfeld um die Leiter. Dieses Magnetfeld erzeugt elektrodynamische Kräfte zwischen Sammelschienen, Leitern, Stützen und angeschlossenen Teilen. Da diese Kräfte sehr schnell mit dem Strom zunehmen, kann der erste Spitzenwert des Fehlerstroms die schwerste mechanische Beanspruchung des gesamten Ereignisses erzeugen.

Deshalb ist der frühe Teil eines Fehlers so wichtig. Selbst wenn die Ausrüstung dem Strom thermisch für kurze Zeit standhalten kann, kann der erste Spitzenwert der Baugruppe dennoch einen heftigen mechanischen Schock versetzen.

In der Praxis ist dies der Grund, warum Sammelschienenhalterungen, Verstrebungen, Abstände, Geometrie und die allgemeine strukturelle Integrität beim Design von Schaltanlagen und Verteilern so wichtig sind. Der erste Spitzenwert ist oft der Moment, in dem die Baugruppe ihre höchste momentane Kraft erfährt.

Was bedeutet „prospektiver Kurzschlussstrom“?

Wenn Ingenieure etwas sagen wie „der prospektive Kurzschlussstrom beträgt 50 kA“, meinen sie oft den symmetrischen RMS-Kurzschlussstrom, nicht den momentanen Spitzenstrom.

Dies ist wichtig, da der Fehlerstrom auf mehr als eine Weise ausgedrückt werden kann. Der RMS-Wert beschreibt die effektive Größe der AC-Komponente, während der Spitzenwert den höchsten momentanen Strom beschreibt, der während des Fehlers erreicht wird.

Wenn also jemand einfach sagt „der Fehlerstrom beträgt 50 kA“ ohne weitere Klärung, bleibt eine wichtige Frage offen:
Sind das 50 kA RMS oder 50 kA Peak?

Deshalb können Diskussionen über Fehlerströme verwirrend werden, wenn die Stromgröße nicht explizit angegeben wird.

Das einfachste mentale Modell

• RMS sagt Ihnen, wie stark der Fehlerstrom über die Zeit wirkt
• Peak sagt Ihnen, wie hart der Fehlerstrom im ungünstigsten Moment zuschlägt

Das ist die klarste mentale Trennung. Es ist auch der Grund, warum dasselbe Fehlerereignis mehr als eine Strombeschreibung benötigt.

Warum dies in echten technischen Gesprächen wichtig ist

In gewöhnlichen AC-Diskussionen verwenden die Leute RMS oft beiläufig, und alles bleibt klar genug. Aber in der Fehlerstromtechnik wird diese Abkürzung riskant.

Sobald das Kurzschlussverhalten ins Spiel kommt, müssen Sie eine präzisere Frage stellen: Sprechen wir über den symmetrischen RMS-Wert oder den momentanen Spitzenwert der ersten asymmetrischen Schleife? Beachten Sie, dass das Gleichstromglied genau das ist, was die frühe Wellenform schwerwiegender macht als eine saubere Sinuswelle.

Fazit

Für RMS vs. Peak beim Kurzschlussstrom:

RMS beschreibt die effektive Schwere des Stroms über die Zeit. Peak beschreibt den maximalen momentanen Schock.

Für eine reine Sinuswelle ist die Beziehung einfach. Für einen realen Kurzschlussstrom ist sie es nicht. Die Wellenform beginnt in einem asymmetrischen Zustand, weist ein abklingendes Gleichstromglied auf und kann einen ersten Spitzenwert liefern, der viel schwerwiegender ist, als es die bekannte Sinusregel vermuten lässt. CMP, Schneider und ABB trennen diese Konzepte alle, da sie unterschiedlichen physikalischen Belastungen innerhalb der Ausrüstung entsprechen.

Deshalb sind sowohl RMS als auch Peak in der Kurzschlussstromtechnik wichtig.

FAQ

Nein. RMS ist der effektive heizäquivalente Wert, während ein einfacher Durchschnitt für eine reine AC-Wellenform über einen vollen Zyklus Null sein kann.

Nur bei einer sauberen symmetrischen Sinuswelle. Ein realer Kurzschlussstrom kann zu Beginn asymmetrisch sein, sodass der erste Spitzenwert höher sein kann, als diese einfache Beziehung vermuten lässt.

Ein abklingendes Gleichstromglied, das der AC-Komponente überlagert ist. Schneider merkt an, dass dieses Gleichstromglied über einige Zyklen abklingt, wonach die Wellenform symmetrischer wird.

Oft meinen sie den symmetrischen RMS-Kurzschlussstrom, aber nicht immer. Deshalb ist es wichtig zu klären, welche Stromgröße gerade besprochen wird.

Referenz:
https://www.cmp-products.com/cable-cleats/technical-cable-cleats/what-is-a-short-circuit/peak-fault-rms/
https://www.se.com/za/en/faqs/FAQ000219931/?utm_source=chatgpt.com
https://search.abb.com/library/Download.aspx?DocumentID=9AKK108466A8513