Effektivwert (RMS) vs. Spitzenwert – Teil III: Wie das Joulesche Gesetz zum Effektivwert führt

Bitte beachten Sie: Dieser Artikel ist akademisch orientiert und richtet sich an Leser, die eine tiefergehende technische Erklärung suchen.
Niveau: Fortgeschritten

In Teil I haben wir den grundlegenden Unterschied zwischen Effektivwert (RMS) und Spitzenwert (Peak) erläutert. In Teil II haben wir gezeigt, dass bei Kurzschlussströmen sowohl die thermische als auch die mechanische Belastung eine Rolle spielen. In diesem dritten Artikel gehen wir eine Ebene tiefer und beantworten die grundlegendere Frage:

Warum gibt es den Effektivwert überhaupt?
– Die Antwort liefert das Joulesche Gesetz.

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Das Joulesche Gesetz: Der physikalische Ursprung des Effektivwerts

Lange bevor der Effektivwert (RMS) zu einem Standardbegriff in der Technik wurde, zeigte James Prescott Joule, dass elektrischer Strom in einem Leiter Wärme erzeugt und dass diese Erwärmung stark vom Strom selbst abhängt. Seine Arbeit begründete das, was wir heute als Joulesches Gesetz bezeichnen: Bei einem Widerstand hängt die über die Zeit erzeugte Wärme vom Widerstandswert, dem Quadrat des Stroms und der Dauer ab.

In vereinfachter Form:

Wärme ∝ I²Rt

In der Ingenieurpraxis wird dies üblicherweise in der Leistungsform geschrieben als:

P = I²R

Unter Verwendung des Ohmschen Gesetzes kann derselbe Zusammenhang auch wie folgt geschrieben werden:

P = V² / R
P = VI

Bei einer rein ohmschen Last beschreiben diese Ausdrücke dasselbe physikalische Ereignis: Elektrische Energie wird in Wärme umgewandelt.

Dies ist der entscheidende Punkt für den Effektivwert.

Der Erwärmungseffekt ist nicht proportional zum Strom selbst. Er ist proportional zum Quadrat des Stroms. Sobald dieses quadratische Verhalten feststeht, ergibt sich der Weg zum Effektivwert ganz natürlich.

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Warum der Effektivwert kein normaler Durchschnittswert ist

Wie in Teil II besprochen, hängt die Erwärmung eines Widerstands vom Quadrat des Stroms ab, daher kann der thermische Effekt einer Wechselstrom-Wellenform nicht durch einen einfachen arithmetischen Mittelwert erfasst werden.

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Von der momentanen Widerstandserwärmung zur RMS-Formel

Da die ohmsche Erwärmung vom Quadrat des Stroms abhängt, reicht eine gewöhnliche Mittelwertbildung nicht aus. Um zu verstehen, warum die RMS-Formel ihre spezifische Form annimmt, müssen wir von der momentanen Widerstandserwärmung ausgehen und diesen Effekt dann über die Zeit mitteln.

Angenommen, ein Widerstand wird von einem zeitlich veränderlichen Strom i(t) durchflossen.

Die momentane Heizleistung beträgt:

p(t) = i²(t)R

Wenn wir den durchschnittlichen Erwärmungseffekt über ein Zeitintervall T ermitteln wollen, mitteln wir die Leistung:

Pavg = (1/T) ∫ p(t) dt

Das Einsetzen von p(t) = i²(t)R ergibt:

Pavg = (1/T) ∫ i²(t)R dt

Da R konstant ist:

Pavg = R · (1/T) ∫ i²(t) dt

Nun definieren wir einen Gleichstrom, der in demselben Widerstand die gleiche durchschnittliche Erwärmung erzeugen würde. Wir nennen ihn IRMS. Dann gilt:

Pavg = I²RMS · R

Also:

IRMS = √[(1/T) ∫ i²(t) dt]

Das ist die Definition des Effektivwerts (Root Mean Square).

Nach der gleichen Logik für die Spannung:

VRMS = √[(1/T) ∫ v²(t) dt]

Der Effektivwert ist also nicht nur eine Beschreibung der Wellenform. Er ist der wärmeäquivalente Gleichstromwert.

Dies ist auch der Grund, warum die Herleitung natürlicherweise die Integralrechnung nutzt. Die Joulesche Erwärmung ist zu jedem Zeitpunkt definiert, und der Gesamteffekt über die Zeit wird durch das Aufsummieren dieser Momentanbeiträge ermittelt. Der Effektivwert ergibt sich, wenn dieser kumulierte Erwärmungseffekt in einen äquivalenten Gleichstromwert umgerechnet wird.

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Was diese Herleitung physikalisch bedeutet

Die obige Herleitung liefert mehr als nur eine Formel. Sie liefert die physikalische Bedeutung des Effektivwerts.

Der Effektivwert ist der Gleichstromwert, der in einem Widerstand die gleiche durchschnittliche Joulesche Erwärmung erzeugen würde wie die ursprüngliche zeitveränderliche Wellenform.

Deshalb wird der Effektivwert oft als Wirkwert bezeichnet.

So betrachtet ist die Logik von Natur aus auf der Infinitesimalrechnung basierend: Wir gehen von der Erwärmung zu jedem Zeitpunkt aus, kumulieren diesen Effekt über die Zeit und drücken das Ergebnis dann als äquivalenten Gleichstromwert aus.

Dies ist auch der Grund, warum der Effektivwert in der praktischen Technik so wichtig ist. Wenn es um den thermischen Effekt geht, ist die entscheidende Größe weder der arithmetische Mittelwert noch einfach der Spitzenwert. Es ist der Wert, der das gleiche kumulierte Erwärmungsverhalten reproduziert.

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Ein einfacher Vergleich: Gleichstrom, Sinus- und Rechteckwelle

Ein kurzes Beispiel macht dies deutlicher.

Angenommen, der Widerstand beträgt 1 Ω, und wir vergleichen drei Wellenformen mit einem Spitzenwert von 10 V.

Wellenform	Spitzenwert	Effektivwert (RMS)	Durchschnittliche Heizleistung an 1 Ω
DC (Gleichstrom)	10 V	10 V	100 W
Sinuswelle	10 V	7,07 V	50 W
Rechteckwelle	10 V	10 V	100 W

Dieser Vergleich offenbart die wahre Bedeutung des Effektivwerts.

Hinweis: P = I²R

Eine 10-V-Gleichstromquelle erzeugt eine Erwärmung von 100 W in einem 1-Ω-Widerstand.

Eine Sinuswelle mit 10 V Spitzenwert erzeugt nicht die gleiche Erwärmung, da sie die 10 V nur kurzzeitig erreicht. Ihr Effektivwert beträgt nur 7,07 V, daher liegt ihre durchschnittliche Heizleistung bei 50 W.

Eine ±10-V-Rechteckwelle hingegen bleibt während des gesamten Zyklus auf voller Amplitude, sodass ihr Effektivwert 10 V beträgt – genau wie bei Gleichstrom. Das bedeutet, sie erzeugt die gleiche durchschnittliche Heizleistung wie 10 V Gleichstrom.

Genau deshalb ist der Effektivwert nützlicher als der Spitzenwert, wenn es in der Technik um Erwärmung geht.

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Warum dies in der praktischen Technik wichtig ist

Diese Unterscheidung ist nicht nur theoretisch.

In der Elektrotechnik ist der Effektivwert üblicherweise die aussagekräftigere Größe bei der Bewertung von:

• Leitererwärmung
• Kabelbelastung
• Temperaturanstieg von Sammelschienen
• Verlustleistung von Widerständen
• Dauerstrombelastbarkeit

Der Spitzenwert ist immer noch wichtig, aber aus einem anderen Grund. Der Spitzenwert ist relevanter, wenn es um die maximale Momentanbelastung geht, wie etwa kurzzeitige mechanische Beanspruchung oder Isolationsstress.

Die einfachste Art, sie zu trennen, ist also diese:

• Peak gibt an, wie hoch die Wellenform in einem Augenblick steigt.
• RMS gibt den effektiven, wärmeäquivalenten Wert über die Zeit an.

Deshalb tauchen beide Größen in der Elektroplanung auf, aber sie sind nicht austauschbar.

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Fazit

Der Effektivwert resultiert nicht allein aus Bequemlichkeit. Er resultiert aus der Physik.

Das Joulesche Gesetz zeigt, dass die Erwärmung eines Widerstands vom Quadrat des Stroms oder der Spannung abhängt. Sobald diese Erwärmung Moment für Moment ausgedrückt und dann über die Zeit kumuliert wird, folgt die Definition des Effektivwerts ganz natürlich.

Deshalb ist der Effektivwert nicht nur eine weitere Art, eine Wellenform zu beschreiben. Er ist der wärmeäquivalente Gleichstromwert.

Im Vergleich zwischen Effektivwert und Spitzenwert gilt also:

• Peak beschreibt den maximalen Momentanwert.
• RMS beschreibt den effektiven thermischen Wert.

Und wenn es um Erwärmung, Dauerbelastung oder Verlustleistung geht, ist der Effektivwert in der Regel die Größe, auf die es am meisten ankommt.

• Informationen zum grundlegenden Unterschied zwischen Effektivwert und Spitzenwert finden Sie unter RMS vs. Peak Teil I.
• Um zu sehen, wie sowohl thermische als auch mechanische Belastungen bei Kurzschlussströmen eine Rolle spielen, lesen Sie RMS vs. Peak Teil II.
• Eine umfassendere Erläuterung verwandter elektrotechnischer Begriffe finden Sie in unserer Definition der Schaltanlagenparameter.
• Wie diese Konzepte in elektrischen Normen angewendet werden, erfahren Sie unter Icw vs. Ipk.